Die Mathematik der Laws of Form: Fauler Zauber?

Nehmen wir den Autor trotz der vielen Bezüge auf die asiatische Philosophie beim Wort und fragen danach, was es jenseits der Bildkraft und der Metaphern der Laws mit ihrer Mathematik auf sich hat. Dazu müssen wir den Rechner Spencer-Brown vom Poeten trennen – kein leichtes Unterfangen. Schon die vielen “Worte, Worte, Worte” (William Carlos Williams), die er im Buch anhäuft, erschweren das Unterfangen erheblich – und geben den ersten entscheidenden Hinweis. Denn Worte sind vage. Es sind diese Vagheiten, mit denen der Poet operiert. Spencer-Brown gibt im Vorwort zur deutschen Ausgabe selbst darüber Auskunft, indem er eine bestimmte Eigenschaft der englischen Sprache von der deutschen unterscheidet: «das, was ich das Irisieren englischer Worte nennen will – ihre Fähigkeit, jeden Augenblick die Farbe zu verändern, die unserer Prosa und Poesie solche Magie verleiht …» (1997: ix). Formeln, die irisieren, sind nicht der Präferenzwert der Mathematik. Was er als Kennzeichen des Deutschen ausmacht, gilt umso mehr für sie: für jedes Wort bzw. Zeichen muss eine exakte Farbe gewählt und fixiert werden. Zaubern verboten, Magie wird auf die Außenseite verbannt, die moderne Gesellschaft will es so.

Zunächst ist es hilfreich, sich die Entstehungsgeschichte der Laws vor Augen zu führen. Von wo kreuzt der Autor auf die Innenseite der Mathematik? Von der Seite des Ingenieurswesens aus, als Angestellter der Firma Mullard Equipment Limited. Darüber gibt er im Buch selbst Auskunft: «die Techniken, die hier niedergeschrieben sind, wurden zuerst nicht im Hinblick auf Fragen der Logik entwickelt, sondern als Antwort auf bestimmte ungelöste Probleme im Ingenieurswesen» (1997: xxiv). Wie man Schaltkreise und Aussagenlogik, Elektronik und Mathematik zueinander in Beziehung setzt, hatte mehrere Jahrzehnte zuvor bereits Claude Shannon mit seinem Kalkül demonstriert (1938). Das Spencer-Brown diese Arbeit gekannt hat, ist wahrscheinlich, viele Wendungen erinnern an Shannon; auch von dessen «ultimativer Maschine» dürfte er gehört haben, deren einziger Zweck darin besteht, sich selbst wieder auszuschalten, nachdem man sie eingeschaltet hatte (vgl. Clarke 1959: 159). Könnte die Pointe seines Kalküls zuletzt darin bestehen, sich zuletzt selbst ebenfalls wieder ‚auszustellen‘?

Zunächst ging es jedenfalls darum, den Strom fließen zu lassen. Die Aufgabe des frischgebackenen Ingenieurs besteht darin, die damals noch gebräuchlichen Relais-Schalter, denen Shannons Arbeit gegolten hatte, gegen die gerade erfundenen «Transfer resistors» (Transistoren) umzutauschen. «My job was to turn the relais circuits into transistor circuits. Now for this they used Boolean algebra, which is not at all suitable» (Spencer-Brown, zitiert nach Heidingsfelder 2019). Oder wie er in dem Vorläufer der Laws, dem für Mullard verfassten technischen Gutachten Design with the NOR (1961) schreibt: «the forms of algebra suitable for relays have proved unsuitable for NOR» units (S. I, 1). «So I invented an algebra in which every operator was one transistor. Which is the algebra of Laws of Form.» (Spencer-Brown, zitiert nach Heidingsfelder 2013) Wenn die Boolesche Algebra hinreicht, bedarf es schließlich keines neuen Kalküls.

Was hat es mit dieser Algebra auf sich, die sich laut Spencer- Brown als für Schalttransistoren ungeeignet erweist? Sie lässt sich verkürzt beschreiben als eine Untersuchung und Zusammenfassung von Rechenregeln (Boole 1958). Die grundlegende Differenz, mit der Boole operiert, ist die von Symbol/Regel: er unterscheidet eine Menge von Symbolen, im einfachsten Fall 0 und 1, von den Regeln bzw. grundlegenden logischen Operatoren NICHT, UND, ODER, mit denen man 0 und 1 verknüpfen kann. Oder noch einfacher, er unterscheidet Operationen und Rechenregeln für diese Operationen.

Booles Algebra ist speziell, denn der Prototyp enthält nur zwei Elemente, 0 und 1, wurde aber später verallgemeinert; seitdem kann sie unendlich viele Elemente enthalten – neben Zahlen auch Mengen und ihre Teilmengen etc. Mit Hilfe dieser Algebra lässt sich zeigen: Es gibt verschiedene mathema- tische Strukturen, die den gleichen Regeln gehorchen – neben Aussagenlogik und Mengenlehre und sogenannten Booleschen Funktionen, also Funktionen von 0 und 1, eben auch Schaltkreise.

An dieser Stelle kommt Henry Maurice Sheffer ins Spiel, der zeigt, dass man statt der üblichen drei Operationen die gesamte Boolesche Algebra mit nur einem Operator beschreiben bzw. aus ihm aufbauen kann, dass man also mit nur einem Symbol auskommt, «a universal logical constant» (1961: II, 1), wie der mathematische Autodidakt Spencer-Brown formuliert. Sheffers bahnbrechende Idee ist es, die zwei Operatoren NICHT und ODER zu einem einzigen Operator zu verknüpfen (jenem NOR, der Spencer-Browns Bericht seinen Titel gab). Er wird mit Hilfe des sogenannten Sheffer-Strichs bezeichnet: A|B (mitunter auch als A↑B notiert). Mit diesem Symbol kann Sheffer alles darstellen. Angeblich war er nicht der erste, der diesen Gedanken hatte – Spencer-Brown selbst weist darauf hin: «The first account of this fact was given by C.S.Peirce in a paper which remained unpublished till 1933» (1961: II, 1). Man könnte sagen, Sheffer bietet eine Alternative an, und zwar in Form einer Verdichtung oder Reduktion. Das scheint Spencer-Brown beeindruckt zu haben, der wiederum eine Alternative zu Sheffers Alternative präsentiert, die diese überbieten soll. Er ersetzt Sheffers Strich durch ein neues Symbol, zunächst «cross notation» genannt (1961: II, 2), bei dem offenbar das Nicht-Zeichen Pate gestanden hat, und verlängert den vertikalen Strich nach unten, so dass beide Striche die gleiche Länge aufweisen:

spencer brown call

Fertig ist das neue Zeichen, der Spencer-Brown- Operator, den er nun nur noch «die Markierung» nennt.

Dieser Operator, der zunächst nur im Bereich der elektronischen Schaltungen zum Einsatz kommt und Spencer-Brown das Zeichnen und praktische Rechnen erleichtert, soll sich in den Laws einer weitaus größeren Aufgabe stellen: einer Synthese, die «die Erforschung der inneren Struktur unserer Kenntnis des Universums» (Mathematik) und «die Erforschung der äußeren Struktur» (Physik) vereint (1997: xxxi), also eine Art mathematische Erkenntnistheorie verwirklicht. Schon der Titel des Werks kann als Hommage gedeutet werden, hatte Boole sein Buch doch The Laws of Thought genannt.

Als Operator taugt Spencer-Browns asymmetrische Unterscheidung im Gegensatz zu der von Sheffer allerdings nicht viel. Was er in den «Laws» vorführt, ist letztlich trivial: Es ist nicht viel mehr als ein Multiplizieren von 1 und –1 (1 x 1, 1 x –1, –1 x–1 = 1). Die einfachste Boolesche Algebra – kompliziert notiert. Im Prinzip beschreibt er mathematisch, wie er hin- und hergeht («kreuzt»). Wir können die Innenseite der Form zum Beispiel als Inland und die Außenseite als Ausland begreifen. Wenn man 2 x hin- und herfliegt, findet man sich im Inland wieder. Wenn man 3 x hin- und herfliegt, ist man im Ausland. Gerade Zahl: Inland, ungerade Zahl: Ausland. Das lässt sich unterschiedlich darstellen, vertikal (bezeichnet den Grenzübertritt), horizontal (ich bin im Inland geblieben). Das Problem ist, dass Spencer-Brown sozusagen nur zwei Flughäfen kennt, während Sheffers abstrakte Algebra beliebig viele Flughäfen (Elemente, auch logische Aussagen) enthalten kann.

So lange er endlich viele Haken zeichnet, geht die Rechnung auf, mag sie auch wenig ertragreich sein. Problematisch wird es, wenn er – wie im Abschnitt «Gleichungen zweiten Grades» (1997: 47ff.) vorgesehen – dazu übergeht, unendlich viele zu zeichnen. Um beim Flughafen-Beispiel zu bleiben: Was passiert, wenn ich unendlich hin- und herfliege – wo befinde ich mich? Aus der Sicht Spencer-Browns steht am Ende des unendlichen Kreuzens der Re-entry, der Wiedereintritt der Unterscheidung in sich selbst, der als Darstellung von Autonomie oder Autopoiesis gelesen werden kann (vgl. Kauffman 2005: 182). Doch diese vermeintliche Selbstreferenz des Kalküls resultiert nicht aus ihm selbst. Zumindest hat Spencer-Brown diese Gewinnung des Kalküls aus dem Kalkül nicht ordentlich ausgeführt. Die «formale Bewältigung der Selbstreferenz in der Logik» (wie Hans Rudi Fischer im Vorwort von Wahrscheinlichkeit und Wissenschaft behauptet, vgl. 1996: 7) lässt sich mit ihm nicht leisten.

Vom Anbeginn der Welt ganz zu schweigen. In der Genesis startet Gott bekanntlich mit der Unterscheidung «Licht» Hätte er den Spencer-Brownschen Operator zur Verfügung, könnte Gott das Licht bis in alle Ewigkeit an- und ausknipsen, aber keineswegs zur Erschaffung von Himmel und Erde fortschreiten, denn die sind nicht in der ersten Unterscheidung Licht/Dunkelheit enthalten. Wenn das Licht unendlich an- und ausgeknipst wird, ist es dann am Ende hell? Versinkt die Welt in ewiger Dunkelheit? Dass sich beide in der Unendlichkeit «schneiden» lässt sich mit dem Operator ebenfalls nicht bewerkstelligen. Er taugt lediglich zu einem kosmischen Stroboskop.

Erst wenn man den Buddhismus hinzunimmt, geht die Rechnung auf – dann lassen sich die Laws als jener Schlüssel verwenden, mit dem der Autor Mathematik identifizierte (1997: xxxv) und als Rezept im Sinne Castanedas verwenden, mit dem der All-Blick möglich wird, «the ‘viewing all qualities in one thought’ which cuts off the hopelessly entangling logical mesh by merging all differences … into the absolute oneness of the knower and the known» (Suzuki 1959: 125f.). Oder in der Sprache Spencer-Browns: die Identität von Markierung und Beobachter (1997: 66). Den Vorteil hat Fritz B. Simon kalkuliert: Wer nicht mehr zweiwertig bzw. logisch denkt, kann auch nicht mehr verrückt werden (1991: 158).

Vollständiger Text: https://www.fachmedien.de/organisationsentwicklung-ausgabe-4-2019

mark

> Earlier this afternoon I received a telephone call from Market Lavington
> Care Home to tell me that George Spencer-Brown passed away peacefully at
> 16.05 yesterday afternoon, 25th August 2016.
>
> It was his wish to be buried at Brookwood cemetery in unconsecrated ground,
> near Charles Bradlaugh, one of his heroes. I will do what I can to ensure
> this wish is met.
>
> I will be in contact again in a few days when I have spoken further with the
> nursing home and social services.
>
> With best wishes to all,
>
> Graham

© Heidingsfelder/Ludewig 2013
© Heidingsfelder/Ludewig 2013

 

Hallo, Professor Spencer-Brown.

“Hang on a minute, I have to turn the sound off … “

Was sehen Sie sich gerade an?

“I’m watching a program on the death of Lady Thatcher.”

Mochten Sie Margret Thatcher?

“Not particularly. But it’s the only women prime minister we’ve had.”

Ich wollte Ihnen nachträglich zum 90. Geburtstag gratulieren. Herzlichen Glückwunsch!

“Thank you. Some people just ring me up to make sure I’m not dead yet. You don’t know what aging is like until you experience it. It means that there are lots of things you simply can’t do because you don’t have the energy to do them. And once aging starts, it proceeds faster and faster.”

Sie klingen aber nicht wie ein alter Mann. Schon gar nicht wie ein 90jähriger.

“I don’t sound like an ordinary old person, because what happens to ordinary old people is, they lose their testosterone. I still have my testosterone. I’m still potent as a male.”

Wie kam es damals eigentlich zu den Laws of Form?

„I was working in London for an electronic firm. They used relais, and transistors had recently been invented. So my job was to turn the relais circuits into transistor circuits. Now, for this they used Boolean algebra, which is not at all suitable. So I invented an algebra in which every operator was one transistor. Which is the algebra of Laws of Form.”

Dank der Laws of Form konnte man plötzlich mit Paradoxien rechnen …

“Nobody understood paradoxes before I started writing.”

Und warum haben Sie es hinbekommen?

“I’m a bit more intelligent, that’s why.”

Bertrand Russell hatte ja regelrecht Angst vor Paradoxien …

“He produced a theorie of types which wasn’t a theory at all. It was a grand name for banning self-referential statements.”

In einem Satz: Was sind die Laws of Form? Gesetze für alles?

“It’s an engineering mathematics. It enables engineers to construct machines which will do things.”

Wenn Sie auf Ihr Leben zurückblicken …

“I don’t look back on my life, I look forward.”

Was war denn damals in Heidelberg los, was ist da schief gelaufen?

“Nothing went wrong, except … We had a very useful agenda. I met my lover and my publisher, Johanna Bohmeier. I wouldn’t have met her if I hadn’t gone to Heidelberg.”

Aber Sie haben sich mit Ihrem Förderer Fritz B. Simon offenbar nicht so gut verstanden.

“Fritz was a hateable person.”

Wieso das?

“He just was. Everyone hated him. He was a very neurotic person … Why do you ring in the middle of a program on Margret Thatcher?”

Ich wußte nicht, dass Sie sich das gerade ansehen.

“This is a great traumatic experience for English people. It’s not a good timing.”

Entschuldigen Sie, das tut mir leid.

“Never apologize. Never explain.”

Warum nicht?

“I’m quoting Disraeli.”

Sind Sie denn seiner Meinung?

“I don’t agree and I don’t disagree. I just quote him. Why should I agree with what I quote? A quotation is a quotation.You never get her date of birth … “

Wie bitte?

“You never get Margret Thatcher’s date of birth.”

Darf ich Sie ganz etwas anderes fragen? Welche Band haben Sie damals mehr gehört – die Beatles oder die Rolling Stones?

“The Beatles I listened to much more than the Rolling Stones. I think they were better composers. They’re highly intelligent. I met Paul when he was living near London. When they were at their peak. A friend of mine lived next door to them. When I was visiting my friend, we went round and knocked on their door. And Paul answered it. I gave him a copy of my poems, because they were starting this Apple publication. But he never published them and I never saw him again.” (lacht)

Schreiben Sie nach wie vor?

“Of course I do. You die if you don’t work. Work is what keeps you alive.”

Wetten Sie immer noch so gern wie früher?

“A gambler loses, but a better wins. I used to be a gambler and I used to lose. But I learned how to win. Now what you do is you never bet on who you want to win, you bet on who is going to win.”

Auf was wetten Sie?

“Anything. Tennis matches. I don’t bet on soccer matches anymore. Because soccer is a game of chance. You don’t necessarily win because you have better players on your side. I discovered that you need about thirty good chances for one goal to be scored.”

Vielen Dank!

“You can’t stop now. I’m just getting into the swing of it.”

Es geht leider nicht anders, ich muss hier weitermachen. Vielen Dank und bis bald.